14주 2차시

맥스웰의 악마

비트는 에너지를 가지고 있다. 비트를 저장하고 처리하는 데 에너지가 들기 때문이다. 그러면 $E=mc^{2}$에 의해 비트 하나가 갖는 무게를 알 수 있다. 어쨌든 비트는 에너지를 갖는다.

 

그렇다면 무게가 $t$ 그램인 블랙홀은 몇 개의 비트로 표현될까? 참고로 블랙홀은 표면적과 최대 질량이 비례한다. 블랙홀의 표면적의 일부분 $s$마다 비트가 할당될 텐데, 놀랍게도 $s$는 플랑크 길이의 제곱과 같다. 즉 플랑크 길이의 제곱에 해당하는 면적마다 비트를 하나씩 할당하면 된다.

 

이쯤되면 의심하지 않을 수 없다. 도대체 플랑크 길이는 무엇인가? 우주는 정말로 디지털인가?

파동이 입자로 바뀌는 순간

코펜하겐 해석에 따르면 파동은 측정되는 순간 입자로 바뀐다. 그 입자의 위치를 제외한 다른 모든 확률은 소멸한다.

 

그렇다면 ``측정``이란 무엇인가?

• 내가 보는 것만 측정이다.
• 사람들이 (도구 등을 사용하여) 보는 것이 측정이다.
• 살아있는 것들이 보는 것이 측정이다. (그렇다면 살아있는 것이란 무엇인가?)
• 일정한 복잡도가 있는 모든 행위가 측정이다. (그나마 말이 되는듯)

이 중에서 뭐가 맞는지는 아무도 모른다. 여기에 없는 답이 사실일지도 모른다.

레이저

레이저는 방향이 하나뿐인 빛이다. 물론 원자 수준에서 방향이 완전히 일치하지는 않겠지만 어쨌든 비슷한 방향으로 가기만 하면 된다. 

 

동전을 두 개 던졌을 때갑자기? 앞면이 2개 나올 확률은 $\frac{1}{4}$이다. 왜냐하면 가능한 경우가 $HH,~HT,~TH,~TT$로 총 4가지이기 때문이다. 여기서 중요한 점은 $TH$와 $HT$가 구분된다는 점이다. 마찬가지로 상자에 동전 100개를 넣고 던지면 대략 50개 정도는 앞면이 나올 거라고 기대할 수 있다.

 

그런데 양자 수준에서 동전을 던지면 두 개의 동전이 파동으로 얽혀서 서로 구분되지 않는다. 따라서 양자 동전 2개를 던져서 앞면이 2개 나올 확률은 $\frac{1}{3}$이다. 동전이 서로 구분되지 않으므로 양자 동전 100개를 던지면 모두 앞면 또는 뒷면이 나올 확률이 높다. 오히려 앞면과 뒷면이 섞여 있을 확률이 낮다.

 

즉 전자 여러 개를 모아놓으면 전자의 운동 방향이 모두 같아질 확률이 높아진다. 따라서 전자를 양자 스케일의 상자에 넣어놓고 한쪽에만 구멍을 뚫어 놓으면 레이저를 만들 수 있다. 

간섭계

14주 2차시 32:00~43:30 참고

 

반거울과 거울을 잘 조합하면 레이저의 방향을 조절할 수 있다. 그런데 광자 하나를 쏴도 동일한 결과가 나온다. 즉 광자 자체가 움직이는 게 아니라 파동함수가 움직이며, 파동함수도 상쇄, 보강 등의 간섭이 일어난다.

 

간섭계를 가지고 매직 잉크 암호를 만들 수 있다. 자세한 내용은 강의 참고.

전자의 스핀

전자가 움직이다가 자기장을 만나면 휘어진다. 그런데 자기장을 통과한 전자의 분포를 보니 자석을 던졌을 때의 결과와 같다. 따라서 전자가 회전하여 자기장을 만들고 있다는 사실을 알 수 있다.

EPR 역설

스핀이 없는 입자가 있다고 하자. 이 입자는 두 개로 분해되어 각각 왼쪽과 오른쪽으로 날아갈 수 있다. 원래 입자의 스핀이 없었기 때문에 분해된 두 입자의 스핀 방향은 서로 반대여야 한다.

 

만약 입자가 파동으로 날아가고 있다면, 입자의 스핀은 측정하기 전까지는 모든 방향이 확률로 존재한다. 그런데 문제는 오른쪽 입자의 스핀을 측정했다면 왼쪽 입자가 얼마나 멀리 떨어져 있던간에 왼쪽 입자의 스핀 방향도 결정된다. 즉 두 입자는 어떤 식으로든 연결되어 있다. 심지어 오른쪽 입자가 측정되었다는 사실이 왼쪽 입자에 즉시 전달된다.

 

매우 이상하다. 사실 이 얘기는 아인슈타인이 코펜하겐 해석을 반박하기 위해 보여준 예시이다. 아인슈타인은 애초에 스핀이 결정된 채로 날아가는 것이며, 단순히 우리가 측정하지 못했을 뿐이라고 생각했다.

 

하지만 스핀은 확률적으로 날아가는 것이 맞다. 스핀의 방향이 완전히 무작위로 결정되기 때문에, 오른쪽 입자가 왼쪽 입자에 뭔가 영향을 미칠 수는 있지만 어떤 정보가 전달되는 것은 아니다. 단 하나의 정보라도 전달된다면 상대성 이론이 깨진다. 따라서 사람이 이걸 정보 전달용으로 사용할 수는 없다.

 

?????????????????

미친듯이 어려운 얘기 맞다. 괜찮다.

Bell's Theorem

14주 2차시 53:02~55:50 참고

 

결론: 스핀은 확률적으로 날아가며, 관측되는 순간 스핀의 방향이 결정된다. 코펜하겐 해석이 맞다.

양자 컴퓨터

오래 전에 ``Nondeterministic Turing Machine``을 얘기할 때, ``NTM``을 실제로 만들 수 없는 이유는 두 가지 상태를 동시에 가지고 있을 수가 없기 때문이라고 했다. 그런데 방금 얘기했듯이 양자는 측정되기 전까지는 여러 상태를 동시에 가질 수 있다. 따라서 양자를 어떻게 잘 조작하면 여러 개의 계산을 한번에 할 수 있다. 이것이 바로 양자컴퓨터이다.

 

현대의 기술력으로는 계산은 할 수 있지만 계산 결과를 모으는 것이 어렵다.

 

다음의 ``Class`` $QP$를 정의한다.

• $QP$: 양자 컴퓨터로 다항 시간 안에 풀리는 문제의 집합

$P \subseteq QP \subseteq NP$이다. 놀랍게도 소인수분해가 $QP$에 속한다. 따라서 양자컴퓨터가 완전히 구현되면 ``RSA``가 깨진다!

 

하지만 양자컴퓨터를 이용하여 다음의 시스템을 만들 수 있다.

양자 키 교환

``Alice``가 ``Bob``에게 비트를 보낸다. 이때 각 비트를 전자의 스핀으로 표현하고, 각 스핀 방향마다 ``0`` 또는 ``1``을 매핑하여 보낸다. 즉 ``1``을 보내는 방법이 여러 가지 존재한다. 물론 반대 방향의 스핀은 표현하는 값(``0``, ``1``)이 달라야 한다. 

 

어쨌든 ``Bob``은 수신된 스핀을 나름대로 측정한다. 측정 결과 중 일부는 정확하고 일부는 틀렸을 것이다. 

 

그 후 ``Alice``는 자신이 보낸 전자의 스핀 방향(정답)을 대략적으로(상하/좌우 등) 알려준다. 그러면 ``Bob``은 자신이 측정한 결과와 정답을 비교하여 자신이 제대로 읽은 스핀만 골라낼 수 있다.

 

그런데 이 사이에 ``Eve``가 엿듣고 있었다면 어떨까? ``Eve``가 스핀을 가로채서 측정하면 전자의 스핀 상태가 바뀐다. 즉 ``Bob``이 측정한 결과는 ``Eve``에 의해 스핀이 바뀐 전자를 다시 측정한 것이다. 따라서 ``Bob``이 측정한 결과는 정답과 다를 확률이 $\frac{1}{2}$이다.

 

이런 방법으로 100비트를 보낸 후 ``Alice``와 ``Bob``은 각각 50비트만을 서로 보낸다. 만약 ``Eve``가 중간에 엿듣고 있었다면 ``Alice``와 ``Bob``의 50비트 중 대부분은 잘못되었을 것이다. 잘못된 값이 없다면 ``Alice``와 ``Bob``은 그 50비트를 공유하게 된다.

 

이것이 양자 키 교환이다. 놀랍게도 현재 구현되고 있다고 한다.

수업 끝!