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아주 단순한 $O(N^2\log N)$짜리 풀이법을 생각할 수 있다. 빗변을 이루는 두 점을 고르고, 직각삼각형이 되기 위해 필요한 나머지 한 점이 존재하는지 찾으면 된다. 두 점을 고르는 데 $N^2$, 나머지 한 점을 찾는 데 $\log N$ 시간이 걸린다.

그러나 $N\le 100,000$이므로 이 풀이를 사용하면 시간 초과. 따라서 조금 더 빠른 풀이를 생각해야 한다. 사실 나도 꽤 오래 걸렸다.

빗변이 아닌 두 변이 좌표축에 평행해야 한다는 조건에서 힌트를 찾을 수 있다. 즉 내가 점 $(x_0,y_0)$를 고르면, 다른 한 점의 $x$좌표는 $x_0$, 또다른 한 점의 $y$좌표는 $y_0$이어야 한다. $x$좌표가 $i$인 점의 개수를 $xcount[i]$, $y$좌표가 $j$인 점의 개수를 $ycount[j]$라 하면 구하는 정답은 $\sum (xcount[x]-1)\times (ycount[y]-1)$이다. $1$을 빼는 이유는 나머지 점을 고를 때 처음 고른 $(x,y)$를 제외하고 골라야 하기 때문이다.

이 방법으로 같은 삼각형을 중복하여 셀 수도 있을까? 예를 들어 다음의 직각삼각형 $PQR$이 두 번 이상 세어질 수 있는가?

이 직각삼각형은 점 $P$를 먼저 고정했을 때에만 선택될 수 있다. $Q$를 먼저 선택했을 경우에는 $R$을 고를 수 없다. $Q$와 $R$의 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 다르기 때문이다. 마찬가지로 $R$을 먼저 선택했을 경우에는 $Q$를 고를 수 없다. 따라서 주어진 직각삼각형은 $P$를 먼저 선택했을 때에만 한 번 세어진다.

실1치고는 꽤 어려운 문제였다.