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Complete Residue System $Z_{6}=\{0,1,2,3,4,5\}$에서, $5 \times 5=1 \mod 6$이므로 $5$의 역원은 $5$이다. 그런데 $2$와 곱해서 $1$이 되는 수, 즉 $2$의 역원은 존재하지 않는다. 따라서 Complete Residue System에서는 곱셈이 잘 정의되지 않는다. 곱셈이 잘 정의되지 않는다는 말은 역원 또는 항등원이 존재하지 않는다는 말과 같다. 우리는 곱셈과 나눗셈이 잘 정의되는 Residue System을 원한다. Reduced Residue System $Z_{m}^{*}=\{a|\gcd(a,m)=1,~0 \le a < m\}$ $Z_{m}^{*}$에서 곱셈이 잘 정의된다는 것을 증명한다. $\forall a \in Z_{m}^{*},..